Calculas) Limit

Limit

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

• 이는 x 가 a 로 접근할때 f(x) 의 극한은 L 이다.
• 이 뜻은 x 가 정확히 a 라는 뜻은 아니다.

좌극한 우극한

• 좌극한(left-hand limit): x 가 a 보다 작은 값을 가지면서 a 에 가까워지는 경우
  • $$\lim_{x \to a^-} f(x) = L$$
• 우극한(right-hand limit): x 가 a 보다 큰 값을 가지면서 a 에 가까워지는 경우
  • $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L$$
• 어떤 점(a) 에서 극한값이 존재하기 위해서는 좌극한, 우극한 값이 동일해야 함.

극한 풀이

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$

 

고등 수학때가 떠오르는데 유리함수의 극한을 풀때는 보통 분모의 최고차항으로 나눠서 푸는걸 확인할 수 있다.

성질

• $$\lim_{x \to a} [c f(x)] = c \lim_{x \to a} f(x) (단, c 는 상수)$$
• $$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$$
• $$\lim_{x \to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$
• $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} (단, $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0)$$

극한의 연속성(continuos)

극한의 연속성은 아래와 같은 성질을 만족하여야 한다. 연속성은 어떤 성질을 지니기에 이런 정의까지 있을까? 머신러닝을 공부하기 위해 수학을 다시 공부했던 나로서는 연속성은 예측가능성을 어느정도 보여준다고 생각한다. 중간에 값이 끊기지 않고, 일정한 형태로 흐름이 존재하는 것이므로 예측 가능성을 어느정도 보장해준다고 생각한다. 이것이 이해가 안간다면 불연속적인 특정 부분에서 확확 튀는 것을 생각해보면 쉽다.

• f(a) 가 존재한다 (함수 값이 존재해야 한다)
• lim (x to a) f(x) 일때 극한 값이 존재한다.
• lim (x to a) f(x) is equal to f(a)